I když neznáte binomické rozdělení podle jména a nikdy jste nebrali vyspělou třídu statistik vysoké školy, rozumíte tomu vrozeně. Opravdu ano. Je to způsob, jak posoudit pravděpodobnost, že se diskrétní událost buď stane, nebo se nestane. A má spoustu aplikací ve financích. Funguje to takto:
Začnete tím, že se pokusíte o něco - otočí se mince, hodí se zdarma, otočení kola rulety, cokoli. Jedinou kvalifikací je, že dotyčné něco musí mít přesně dva možné výsledky. Úspěch nebo neúspěch, to je vše. (Ano, kolo rulety má 38 možných výsledků. Ale z pohledu sázejícího jsou pouze dva. Buď vyhrajete, nebo prohrajete.)
Pro náš příklad použijeme bezplatné hody, protože jsou o něco zajímavější než přesná a neměnná 50% šance na přistávací hlavu mincí. Řekněme, že jste Dirk Nowitzki z Dallas Mavericks, který minulý rok zasáhl 89, 9% svých trestných hodů. Řekneme tomu 90% pro naše účely. Pokud byste ho právě teď dostali na hranici, jaké jsou šance, že udeří (alespoň) z 10?
Ne, nejsou to 100%. Nejsou ani 90%.
Jsou to 74%, věřte tomu nebo ne. Zde je vzorec. Jsme tady všichni dospělí, není třeba se bát exponentů a řeckých dopisů:
n je počet pokusů. V tomto případě 10.
i je počet úspěchů, což je buď 9 nebo 10. Vypočítáme pravděpodobnost pro každý z nich a poté je přidáme.
p je pravděpodobnost úspěchu každé jednotlivé události, což je 0, 9.
Šance na dosažení cíle, tj. Binomické rozdělení úspěchů a neúspěchů, je tato:
Cvičení I = 0∑k (ni) pi (1-p) n-i
Matematická notace, pokud potřebujete výrazy v tomto výrazu dále členěné:
Cvičení (Ni) = (n − i)! I! N!
To je „binomické“ v binomickém rozdělení: tj. Dva termíny. Zajímá nás nejen počet úspěchů, ani jen počet pokusů, ale i oba. Každý z nás je k ničemu bez druhého.
Další notační matematický zápis:! je faktoriální: vynásobení kladného celého čísla každým menším kladným celkovým číslem. Například, Cvičení 5! = 5 × 4 × 3 × 2
Připojte čísla a pamatujte, že musíme vyřešit jak 9 z 10 volných hodů, tak 10 z 10, a dostaneme
Cvičení (9! 1; 10! ×.9, 9 ×.1, 1) + (10! 10! × 0, 91 ×.10)
= 0.387420489 (což je šance zasáhnout devět) + 0.3486784401 (šance zasáhnout všech deset)
= 0, 736098929
Toto je kumulativní rozdělení, na rozdíl od pouhého rozdělení pravděpodobnosti . Kumulativní rozdělení je součet vícenásobných pravděpodobnostních distribucí (v našem případě by to byly dvě.) Kumulativní rozdělení počítá šanci zasáhnout rozsah hodnot - zde 9 nebo 10 z 10 volných hodů - místo jednoho hodnota. Když se ptáme, jaké jsou šance, že Nowitzki zasáhne 9 z 10, měli bychom pochopit, že máme na mysli „9 nebo lepší z 10“, nikoli „přesně 9 z 10.“
Co to má společného s financováním? Více, než si myslíte. Řekněme, že jste banka, věřitel, který ví na třech desetinných místech pravděpodobnost, že konkrétní dlužník nebude platit. Jaká je šance, že tolik dlužníků neplní, že by učinily banku insolventní? Jakmile k výpočtu tohoto čísla použijete funkci kumulativního binomického rozdělení, budete mít lepší představu o tom, jak ocenit pojištění, a nakonec, kolik peněz na půjčení a kolik si ponechat v rezervě.
Zajímalo by vás někdy, jak jsou stanoveny počáteční ceny opcí? Totéž. Pokud má volatilní podkladová akcie šanci zasáhnout určitou cenu, můžete se podívat na to, jak se akcie pohybují po řadě n období, a určit tak, za jakou cenu by se měly možnosti prodat. (Připraveni na pokročilejší obchodní techniky? Podívejte se na část Investopedie o strategiích používání technických ukazatelů.)
Použití funkce binomické distribuce na finance přináší některé překvapivé, ne-li zcela kontraintuitivní výsledky; stejně jako šance, že 90% střílečka s volným hodem zasáhne 90% svých volných hodů, bude něco méně než 90%. Předpokládejme, že máte jistotu, která má stejnou šanci na 20% zisk, jako na 20% ztrátu. Pokud by cena cenného papíru klesla o 20%, jaké jsou šance, že se vrátí na původní úroveň? Pamatujte, že jednoduchý odpovídající zisk 20% to nezkracuje: Akcie, které klesnou o 20% a poté o 20%, budou stále klesat o 4%. Držte střídavě 20% pádů a zisků a nakonec akcie nebudou k ničemu.
Sečteno a podtrženo
Analytici s pochopením binomické distribuce mají k dispozici další sadu nástrojů kvality při určování cen, hodnocení rizika a vyhýbání se nepříjemným výsledkům, které mohou vyplynout z nedostatečné přípravy. Když pochopíte binomické rozdělení a jeho často překvapivé výsledky, budete daleko před masami.
