Oceňování možností může být složité. Zvažte následující scénář: V lednu 2015 se akcie IBM obchodovaly za 155 USD a očekávali jste, že v příštím roce se zvýší. Máte v úmyslu koupit call opci na akciích IBM s realizační cenou ATM 155 $, očekáváte, že využijete vysoké procento výnosů na základě malých nákladů na opce (opce na prémii) ve srovnání s nákupem akcií s vysokou kupní cenou.
Jaká by měla být reálná hodnota této možnosti volání na IBM?
Dnes je k dispozici několik různých připravených metod k oceňování možností - včetně modelu Black-Scholes a modelu binomického stromu - které mohou poskytnout rychlé odpovědi. Ale jaké jsou základní faktory a hnací koncepty k tomu, abychom dospěli k takovým oceňovacím modelům? Lze na základě konceptu těchto modelů připravit něco podobného?
Zde se zabýváme stavebními bloky, základními koncepty a faktory, které lze použít jako rámec pro sestavení modelu oceňování aktiva, jako jsou opce, a poskytujeme vzájemné srovnání s původem Black-Scholes (BS)) Modelka.
Svět před černou Scholes
Před Black-Scholesem byl široce dodržován model stanovení cen kapitálových aktiv (CAPM) založený na rovnováze. Výnosy a rizika byly vzájemně vyváženy na základě preferencí investora, tj. U vysoce rizikového investora se očekávalo, že bude kompenzován (potenciálem) vyšších výnosů v podobném poměru.
BS model najde své kořeny v CAPM. Podle Fishera Blacka: „Model cenového kapitálu jsem použil v každém okamžiku života warrantu, za každou možnou cenu akcií a hodnotu warrantu.“ CAPM bohužel nedokázal splnit požadavek stanovení ceny (opce) warrantů.
Black-Scholes zůstává prvním modelem, založeným na konceptu arbitráže, čímž dochází k posunu paradigmatu od modelů založených na riziku (jako je CAPM). Tento nový vývoj modelu BS nahradil koncept návratnosti akcií CAPM s uznáním skutečnosti, že dokonale zajištěná pozice získá bezrizikovou sazbu. Tím byly odstraněny variace rizika a výnosu a byl zaveden koncept arbitráže, při kterém se oceňování provádí na základě předpokladů konceptu neutrálního - zajištěná (bezriziková) pozice by měla vést k bezrizikové míře návratnosti.
Vývoj černých scholů
Začněme stanovením problému, jeho vyčíslením a vytvořením rámce pro jeho řešení. Pokračujeme s naším příkladem oceňování opce na volání ATM na IBM s realizační cenou 155 $ s jedním rokem do vypršení platnosti.
Na základě základní definice call opce, pokud cena akcií nedosáhne úrovně realizační ceny, zůstává výplata nulová. Po této úrovni se výplata lineárně zvyšuje (tj. Jedno-dolarové zvýšení podkladového aktiva zajistí výplatu jednoho dolaru z call opce).
Za předpokladu, že se kupující a prodávající dohodnou na reálném ocenění (včetně nulové ceny), bude teoretická reálná cena pro tuto výzvu k opci:
- Cena opce na volání = 0 $, pokud je podkladová <stávka (červený graf) Cena opce na volání = (podkladová - stávka), je-li podkladová> = stávka (modrý graf)
To představuje vnitřní hodnotu opce a vypadá perfektně z pohledu kupujícího opce na nákup. V červené oblasti mají jak kupující, tak prodávající spravedlivé ocenění (nulová cena prodávajícímu, nulová návratnost kupujícímu). Výzva k ocenění však začíná u modrého regionu, protože kupující má výhodu kladného výnosu, zatímco prodávající utrpí ztrátu (pokud podkladová cena přesahuje realizační cenu). Zde má kupující výhodu oproti prodávajícímu s nulovou cenou. Ceny musí být nenulové, aby se prodávajícímu kompenzovalo za riziko, které podstupuje.
V prvním případě (červený graf) je prodávající teoreticky nulová cena a pro kupujícího je nulový potenciál výplaty (spravedlivý vůči oběma). V druhém případě (modrý graf) má prodávající zaplatit kupujícímu rozdíl mezi podkladovým a stávkovým. Riziko prodávajícího trvá po celý rok. Například podkladová cena akcií se může pohybovat velmi vysoko (řekněme 200 USD za čtyři měsíce) a prodejce je povinen zaplatit kupujícímu rozdíl ve výši 45 USD.
Tak se scvrkává na:
- Překročí cena podkladové ceny realizační cenu? Pokud ano, jak vysoká může podkladová cena jít (protože tím bude určována výplata kupujícímu)?
To ukazuje na velké riziko prodávajícího, které vede k otázce - proč by někdo takové volání prodal, pokud nedostanou za riziko, které podstupují, nic?
Naším cílem je dospět k jediné ceně, kterou by měl prodávající účtovat kupujícímu, což mu může kompenzovat celkové riziko, které přebírá za roční dobu - jak v oblasti nulové platby (červená), tak v oblasti lineární platby (modrá). Cena by měla být spravedlivá a přijatelná pro kupujícího i prodávajícího. Pokud ne, pak ten, kdo je v nevýhodě, pokud jde o placení nebo přijetí nespravedlivé ceny, se nebude podílet na trhu, a tím poráží účel obchodování. Cílem modelu Black-Scholes je stanovit tuto spravedlivou cenu zvážením stálých cenových variací akcií, časové hodnoty peněz, realizační ceny opce a doby do vypršení opce. Podobně jako u modelu BS se podívejme, jak můžeme přistoupit k vyhodnocení tohoto příkladu pomocí našich vlastních metod.
Jak hodnotit vnitřní hodnotu v modré oblasti?
K dispozici je několik metod pro předpovídání očekávaného pohybu cen v budoucnosti v daném časovém rámci:
- Jeden může analyzovat podobné pohyby cen stejné délky v nedávné minulosti. Historická závěrečná cena IBM naznačuje, že v posledním roce (2. ledna 2014 až 31. prosince 2014) cena klesla na 185, 44 USD z 185, 53 USD, což je pokles o 13, 5%. Můžeme uzavřít cenový posun o -13, 5% pro IBM? Další podrobná kontrola naznačuje, že se dotkla ročního maxima 199, 21 $ (10. dubna 2014) a ročního minima 150, 5 $ (16. prosince 2014). Na základě těchto údajů v den zahájení, 2. ledna 2014 a závěrečné ceny 185, 53 $, se procentuální změna pohybuje od + 7, 37% do -18, 88%. Nyní je variační rozmezí mnohem širší ve srovnání s dříve vypočítaným poklesem o 13, 5%.
Podobné analýzy a pozorování historických dat lze provádět. Abychom mohli pokračovat ve vývoji cenového modelu, předpokládejme tuto jednoduchou metodologii pro odhad budoucích cenových variací.
Předpokládejme, že IBM každý rok stoupne o 10% (na základě historických dat za posledních 20 let). Základní statistiky naznačují, že pravděpodobnost změny ceny akcií IBM pohybující se kolem + 10% bude mnohem vyšší než pravděpodobnost růstu ceny IBM o 20% nebo klesající o 30%, za předpokladu, že se historické vzorce opakují. Shromážděním podobných historických datových bodů s hodnotami pravděpodobnosti lze celkový očekávaný výnos z ceny akcií IBM v ročním časovém rámci vypočítat jako vážený průměr pravděpodobností a souvisejících výnosů. Předpokládejme například, že historické údaje o cenách IBM naznačují následující pohyby:
- (-10%) ve 25% případů, +10% ve 35%, + 15% ve 20%, + 20% v 10% časech, + 25% v 5% časech a (-15%) v 5% časech.
Vážený průměr (nebo očekávaná hodnota) tedy vychází z:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
To znamená, že se v průměru očekává, že cena akcií IBM se vrátí o 6, 5% za jeden rok za každý dolar. Pokud někdo koupí akcie IBM s ročním horizontem a kupní cenou 155 USD, lze očekávat čistý výnos 155 * 6, 5% = 10 075 $.
Toto je však pro návrat akcií. Musíme hledat podobné očekávané výnosy pro možnost volání.
Na základě nulové návratnosti hovoru pod realizační cenou (stávající 155 $ - ATM volání) vygenerují všechny záporné pohyby nulové návratnosti, zatímco všechny kladné pohyby nad realizační cenou vygenerují ekvivalentní návratnost. Očekávaná návratnost pro možnost volání bude tedy:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
To znamená, že za každých 100 USD investovaných do nákupu této možnosti lze očekávat 9, 75 USD (na základě výše uvedených předpokladů).
To se však stále omezuje na spravedlivé ocenění vlastní výše opce a nezachycuje správně riziko, které prodávající opce nese v souvislosti s vysokými výkyvy, které se mohou vyskytnout v mezidobí (v případě výše uvedeného celoročního vysokého a nízkého ceny). Jaká cena může být kromě vlastní hodnoty dohodnuta mezi kupujícím a prodávajícím, aby byl prodávajícímu spravedlivě kompenzována riziko, které přebírá za roční období?
Tyto výkyvy se mohou značně lišit a prodejce může mít svůj vlastní výklad toho, jak moc za to má být odškodněn. Model Black-Scholes předpokládá možnosti evropského typu, tj. Žádné cvičení před vypršením platnosti. Zůstává tedy nedotčena přechodnými cenovými výkyvy a jeho ocenění je založeno na obchodních obchodních dnech.
V obchodování v reálném dni hraje tato volatilita důležitou roli při určování cen opcí. Modrá funkce výplaty, kterou běžně vidíme, je ve skutečnosti výplata ke dni expirace. Realisticky je cena opce (růžový graf) vždy vyšší než výplata (modrý graf), což naznačuje cenu, kterou prodávající kompenzuje za své schopnosti podstupovat riziko. Z tohoto důvodu je cena opce známa také jako opce „prémie“ - což značí rizikovou prémii.
To může být zahrnuto do našeho oceňovacího modelu v závislosti na tom, jak velká volatilita se očekává v ceně akcií a na kolik očekávané hodnoty by to přineslo.
Model Black-Scholes to efektivně (samozřejmě v rámci svých vlastních předpokladů) provádí následovně:
Cvičení C = S × N (d1) -X × e-rTN (d2)
Model BS předpokládá logické abnormální rozdělení pohybů cen akcií, což odůvodňuje použití N (d1) a N (d2).
- V první části S označuje aktuální cenu akcie. N (d1) označuje pravděpodobnost současného pohybu cen akcií.
Pokud tato možnost půjde do peněz, což kupujícímu umožní tuto možnost uplatnit, získá jednu akcii z podkladových akcií IBM. Pokud to obchodník dnes uplatní, pak S * N (d1) představuje současnou očekávanou hodnotu opce.
Ve druhé části X označuje realizační cenu.
- N (d2) představuje pravděpodobnost, že cena akcií bude nad realizační cenou. Takže X * N (d2) představuje očekávanou hodnotu ceny akcií, která zůstává nad realizační cenou.
Protože model Black-Scholes předpokládá možnosti evropského stylu, kdy je cvičení možné až na konci, očekávaná hodnota představovaná výše X * N (d2) by měla být diskontována na časovou hodnotu peněz. Poslední část se tedy znásobí exponenciálním termínem zvýšeným na úrokovou sazbu v časovém období.
Čistý rozdíl těchto dvou termínů označuje cenovou hodnotu opce k dnešnímu dni (přičemž druhý termín je diskontován)
V našem rámci lze takové cenové pohyby přesněji zahrnout několika způsoby:
- Další upřesnění výpočtů očekávaného výnosu rozšířením rozsahu do jemnějších intervalů tak, aby zahrnovaly pohyby cen uvnitř dne / uvnitř roku Zahrnutí současných tržních údajů, protože odráží současnou aktivitu trhu (podobnou implikované volatilitě) Očekávané výnosy k datu ukončení platnosti, které může být odečteny zpět do současnosti za reálné ocenění a dále sníženy ze současné hodnoty
Vidíme tedy, že neexistují žádné limity pro předpoklady, metodiky a přizpůsobení, které mají být vybrány pro kvantitativní analýzu. V závislosti na obchodovaném aktivu nebo investici, která má být zvážena, může být vyvinut vlastní model. Je důležité si uvědomit, že volatilita pohybů cen různých tříd aktiv se hodně liší - akcie mají sklon volatility, forex má volatilitu zamračenou - a uživatelé by měli do svých modelů začlenit použitelné modely volatility. Předpoklady a nevýhody jsou nedílnou součástí každého modelu a znalosti aplikací modelů ve scénářích obchodování se skutečným světem mohou přinést lepší výsledky.
Sečteno a podtrženo
Se vstupem komplexních aktiv na trhy nebo dokonce jednoduchých vanilkových aktiv do komplexních forem obchodování se stává kvantitativní modelování a analýza pro oceňování povinné. Bohužel, žádný matematický model nepřichází bez řady nevýhod a předpokladů. Nejlepším přístupem je udržet předpoklady na minimu a být si vědom implicitních nedostatků, které mohou pomoci při kreslení linií o použití a použitelnosti modelů.
