S chytřejší simulací monte carlo

Ve financích existuje reálné množství nejistoty a rizika spojené s odhadem budoucí hodnoty čísel nebo částek v důsledku široké škály potenciálních výsledků. Simulace Monte Carlo (MCS) je jedna technika, která pomáhá snižovat nejistotu při odhadování budoucích výsledků. MCS lze použít na komplexní nelineární modely nebo použít k vyhodnocení přesnosti a výkonu jiných modelů. Lze jej také implementovat do řízení rizik, správy portfolia, oceňování derivátů, strategického plánování, plánování projektů, modelování nákladů a dalších oblastí.

Definice

MCS je technika, která převádí nejistoty ve vstupních proměnných modelu na rozdělení pravděpodobnosti. Kombinací distribucí a náhodným výběrem hodnot z nich mnohokrát přepočítá simulovaný model a odhalí pravděpodobnost výstupu.

Základní vlastnosti

MCS umožňuje použít několik vstupů současně k vytvoření rozdělení pravděpodobnosti jednoho nebo více výstupů. Vstupům modelu lze přiřadit různé typy rozdělení pravděpodobnosti. Pokud distribuce není známa, mohla by být vybrána ta, která představuje nejvhodnější použití. Použití náhodných čísel charakterizuje MCS jako stochastickou metodu. Náhodná čísla musí být nezávislá; mezi nimi by neměla existovat žádná korelace.MCS generuje výstup jako rozsah namísto pevné hodnoty a ukazuje, jak je pravděpodobné, že se výstupní hodnota objeví v rozsahu.

Některé často používané distribuce pravděpodobnosti v MCS

Normální / gaussovské rozdělení - kontinuální distribuce aplikovaná v situacích, kdy je uveden průměr a směrodatná odchylka a průměr představuje nejpravděpodobnější hodnotu proměnné. Je symetrický kolem průměru a není omezen.

Lognormální distribuce - kontinuální distribuce určená střední a standardní odchylkou. To je vhodné pro proměnnou v rozsahu od nuly do nekonečna, s pozitivní skewn a s normálně distribuovaným přirozeným logaritmem.

Trojúhelníková distribuce - kontinuální distribuce s pevnými minimálními a maximálními hodnotami. Je ohraničena minimální a maximální hodnotou a může být symetrická (nejpravděpodobnější hodnota = střední = střední) nebo asymetrická.

Uniform Distribution - nepřetržitá distribuce ohraničená známými minimálními a maximálními hodnotami. Na rozdíl od trojúhelníkového rozdělení je pravděpodobnost výskytu hodnot mezi minimem a maximem stejná.

Exponenciální distribuce - kontinuální distribuce používaná pro ilustraci času mezi nezávislými událostmi, pokud je známa četnost výskytu.

Matematika za MCS

Uvažujme, že máme funkci s reálnou hodnotou g (X) s pravděpodobnostní frekvenční funkcí P (x) (je-li X diskrétní) nebo s funkcí hustoty pravděpodobnosti f (x) (je-li X spojité). Pak můžeme definovat očekávanou hodnotu g (X) diskrétně a spojitě:

Cvičení $\begin{matrix} E (G (X)) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} G (X) P (X), \\ kde P (X) > 0 a \sum_{- \infty}^{+ \infty} P (X) = 1 \\ E (G (X)) = \int_{- \infty}^{+ \infty} G (X) F (X) d X, \\ kde F (X) > 0 a \int_{- \infty}^{+ \infty} F (X) d X = 1 \\ Dále vytvořte náhodné kresby, zvané n X (X_{1}, \dots, X_{n}) \\ zkušební nebo simulační běhy, výpočet G (X_{1}), \dots, G (X_{n}) \end{matrix} \ begin {zarovnané} & E (g (X)) = \ suma ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} g (x) P (x), \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ text {where} P (x)> 0 \ text {and} sum ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} P (x) = 1 \\ & E (g (X)) = \ int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} g (x) f (x) , dx, \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ text {kde} f (x)> 0 \ text {a} int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} f (x) , dx = 1 \\ & \ text {Další, vytvořte $ n $ náhodné kresby $ X (x_1, \ ldots, x_n) $, nazvané} \ & \ text {zkušební běhy nebo simulační běhy, vypočítat $ g (x_1), \ ldots, g (x_n) $} \ & \ text {a najít střední hodnotu $ g (x) $ vzorku:} end {zarovnané}$ E (g (X)) = - ∞∑ + ∞ g (x) P (x), kde P (x)> 0 a − ∞∑ + ∞ P (x) = 1E (g (X)) = ∫ − ∞ + ∞ g (x) f (x) dx, kde f (x)> 0 a ∫ − ∞ + ∞ f (x) dx = 1Další, vytvořte n náhodných výkresů X (x1, …, xn), tzv. průběžné nebo simulační běhy, výpočet g (x1), …, g (xn)

Cvičení $\begin{matrix} G_{n}^{μ} (X) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} G (X_{i}), což představuje finální simulaci \\ hodnota E (G (X)) . \\ Proto G_{n}^{μ} (X) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} G (X) bude Monte Carlo \\ odhadce E (G (X)) . \\ Tak jako n \to \infty, G_{n}^{μ} (X) \to E (G (X)), tak jsme nyní schopni \\ vypočítat rozptyl kolem odhadovaného průměru pomocí \\ nezaujatý rozptyl G_{n}^{μ} (X) : \end{matrix} \ begin {zarovnané} & g ^ \ mu_n (x) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (x_i), \ text {což představuje konečnou simulaci} \ & \ text { hodnota} E (g (X)). \\\\ & \ text {Proto} g ^ \ mu_n (X) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (X) text {bude Monte Carlo} \ & \ text {odhadce} E (g (X)). \\\\ & \ text {As} n \ to \ infty, g ^ \ mu_n (X) na E (g (X)), \ text {tak jsme nyní schopni} \ & \ text {vypočítat rozptyl kolem odhadovaného průměru}} \ & \ text {nezaujatý rozptyl} g ^ \ mu_n (X) text {:} \ & Var (g ^ \ mu_n (X)) = \ frac {1} {n-1} sum ^ n_ {i = 1} (g (x_i) -g ^ \ mu_n (x)) ^ 2. \ end {zarovnané}$ Gnμ (x) = n1 i = 1∑n g (xi), což představuje konečnou simulovanou hodnotu E (g (X)), proto gnμ (X) = n1 i = 1∑n g (X) bude Monte Carloestimator E (g (X)). Jako n → ∞, gnμ (X) → E (g (X)), tak jsme nyní schopni vypočítat rozptyl kolem odhadovaného průměru pomocí nezměněná variance gnμ (X):

Jednoduchý příklad

Jak ovlivní EBITD nejistota v jednotkové ceně, jednotkových prodejích a variabilních nákladech?

Prodej jednotek autorských práv) - (variabilní náklady + fixní náklady)

Vysvětlíme nejistotu vstupů - jednotkovou cenu, jednotkový prodej a variabilní náklady - pomocí trojúhelníkového rozdělení, určeného příslušnými minimálními a maximálními hodnotami vstupů z tabulky.

autorská práva

Graf citlivosti

Tabulka citlivosti může být velmi užitečná, pokud jde o analýzu vlivu vstupů na výstup. Říká se, že jednotkový prodej představuje 62% rozptylu v simulovaném EBITD, variabilní náklady 28, 6% a jednotková cena 9, 4%. Korelace mezi jednotkovým prodejem a EBITD a mezi jednotkovou cenou a EBITD je kladná nebo zvýšení jednotkového prodeje nebo jednotkové ceny povede ke zvýšení EBITD. Na druhé straně variabilní náklady a EBITD jsou negativně korelovány a snížením variabilních nákladů zvýšíme EBITD.

autorská práva

Dejte si pozor, že definování nejistoty vstupní hodnoty pomocí rozdělení pravděpodobnosti, které neodpovídá skutečné hodnotě, a vzorkování z ní poskytne nesprávné výsledky. Navíc předpoklad, že vstupní proměnné jsou nezávislé, nemusí být platný. Klamavé výsledky mohou pocházet ze vstupů, které se vzájemně vylučují, nebo pokud je zjištěna významná korelace mezi dvěma nebo více distribucemi vstupů.

Sečteno a podtrženo

Technika MCS je přímá a flexibilní. Nemůže vyhladit nejistotu a riziko, ale může jim usnadnit pochopení přiřazením pravděpodobnostních charakteristik vstupům a výstupům modelu. Může být velmi užitečný pro stanovení různých rizik a faktorů, které ovlivňují předpovídané proměnné, a proto může vést k přesnějším předpovědím. Také si všimněte, že počet pokusů by neměl být příliš malý, protože to nemusí být dostatečné pro simulaci modelu, což způsobuje shlukování hodnot.

Obsah: