Obsah
- Co je model Black Scholes?
- Základy modelu BSM
- The Black Scholes Formula
- Co vám tento model říká?
- Omezení
Co je model Black Scholes?
Model Black Scholes, známý také jako model Black-Scholes-Merton (BSM), je matematický model pro oceňování opcí. Model zejména odhaduje kolísání finančních nástrojů, jako jsou akcie, v čase, a použití implikované volatility podkladového aktiva odvozuje cenu call opce.
Klíč s sebou
- Model Black-Scholes Merton (BSM) je diferenciální rovnice používaná k řešení cen opcí. Model získal Nobelovu cenu za ekonomii. Standardní model BSM se používá pouze k oceňování evropských opcí a nezohledňuje, že by americké opce mohly být uplatněn před datem expirace.
Základy modelu Black Scholes
Model předpokládá, že cena těžce obchodovaných aktiv sleduje geometrický Brownův pohyb s konstantním driftem a volatilitou. Při použití na opci na akcii zahrnuje model konstantní cenovou změnu akcie, časovou hodnotu peněz, realizační cenu opce a čas do vypršení opce.
Také se nazýval Black-Scholes-Merton, byl prvním široce používaným modelem pro oceňování opcí. Používá se pro výpočet teoretické hodnoty opcí s použitím aktuálních cen akcií, očekávaných dividend, realizační ceny opce, očekávaných úrokových sazeb, doby do vypršení platnosti a očekávané volatility.
Vzorec vyvinutý třemi ekonomy - Fischerem Blackem, Myronem Scholesem a Robertem Mertonem - je snad nejznámějším cenovým modelem na světě. To bylo představeno v jejich 1973 papíru, “cena opcí a korporační závazky, ” publikoval v Žurnálu politické ekonomiky . Black zemřel dva roky předtím, než Scholes a Merton obdrželi Nobelovu cenu za ekonomii za rok 1997 za práci na nalezení nové metody pro stanovení hodnoty derivátů (Nobelova cena není udělena posmrtně; Nobelova komise však uznala roli Blacka v Black-Scholesův model).
Model Black-Scholes předpokládá určité předpoklady:
- Tato možnost je evropská a lze ji uplatnit pouze po vypršení platnosti. Během výplaty se nevyplácejí žádné dividendy. Trhy jsou efektivní (tj. Pohyby na trhu nelze předvídat). Při nákupu opce neexistují žádné transakční náklady. volná sazba a volatilita podkladového aktiva jsou známé a konstantní.
Zatímco původní model Black-Scholes nezohledňoval účinky dividend vyplacených během životnosti opce, model je často upraven tak, aby zohledňoval dividendy stanovením hodnoty ex-dividendové hodnoty podkladové akcie.
The Black Scholes Formula
Matematika zapojená do vzorce je komplikovaná a může být zastrašující. Naštěstí nemusíte znát matematiku, abyste mohli používat Black-Scholes modelování ve svých vlastních strategiích. Obchodníci s opcemi mají přístup k řadě online kalkulaček opcí a mnoho dnešních obchodních platforem se může pochlubit robustními nástroji pro analýzu možností, včetně ukazatelů a tabulek, které provádějí výpočty a vydávají hodnoty cenových možností opcí.
Vzorec opce na volání Black Scholes se vypočítá vynásobením ceny akcií kumulativní standardní distribucí normální pravděpodobnosti. Poté se od výsledné hodnoty předchozího výpočtu odečte čistá současná hodnota (NPV) realizační ceny vynásobená kumulativním standardním normálním rozdělením.
V matematickém zápisu:
Cvičení C = St N (d1) −Ke − rtN (d2) kde: d1 = σs t lnKSt + (r + 2σv2) ta ad2 = d1 −σs t kde: C = Cena opce na výzvuS = Aktuální stav (nebo jiná podkladová) cenaK = Strike pricer = Bezrizikový úrokový ratet = Čas do splatnostiN = Normální rozdělení
Black-Scholesův model
Co vám říká model Black Scholes?
Model Black Scholes je jedním z nejdůležitějších konceptů moderní finanční teorie. Byl vyvinut v roce 1973 Fischerem Blackem, Robertem Mertonem a Myronem Scholesem a je dodnes hojně využíván. Je považován za jeden z nejlepších způsobů stanovení spravedlivých cen opcí. Model Black Scholes vyžaduje pět vstupních proměnných: realizační cenu opce, aktuální cenu akcií, čas do vypršení platnosti, bezrizikovou sazbu a volatilitu.
Model předpokládá, že ceny akcií sledují lognormální rozdělení, protože ceny aktiv nemohou být záporné (jsou omezeny nulou). Toto je také známé jako gaussovské rozdělení. Často se zjistí, že ceny aktiv mají významnou pravostrannost a určitý stupeň kurtózy (tukové ocasy). To znamená, že se vysoce rizikové pohyby směrem dolů často vyskytují na trhu častěji, než předpovídá normální rozdělení.
Předpoklad lognormálních podkladových cen aktiv by tedy měl ukázat, že implikované volatility jsou pro každou realizační cenu podobné podle Black-Scholesova modelu. Od selhání trhu v roce 1987 však byly implikované volatility pro peněžní opce nižší než ty, které jsou dále z peněz nebo daleko v penězích. Důvodem pro tento jev je, že trh je cenový s větší pravděpodobností, že se vysoká volatilita posouvá k poklesu na trzích.
To vedlo k výskytu zkreslení volatility. Když jsou implikované volatility pro volby se stejným datem expirace namapovány na grafu, je vidět tvar úsměvu nebo zkosení. Black-Scholesův model tedy není účinný pro výpočet předpokládané volatility.
Omezení modelu Black Scholes
Jak bylo uvedeno výše, model Black Scholes se používá pouze k oceňování evropských opcí a nezohledňuje, že americké opce by mohly být uplatněny před datem vypršení platnosti. Model navíc předpokládá, že dividendy a bezrizikové sazby jsou konstantní, ale ve skutečnosti to nemusí být pravda. Model také předpokládá, že volatilita zůstává po celou dobu životnosti opce konstantní, což není případ, protože volatilita kolísá s úrovní nabídky a poptávky.
Model navíc předpokládá, že neexistují žádné transakční náklady ani daně; že bezriziková úroková sazba je pro všechny splatnosti konstantní; že je povolen krátký prodej cenných papírů s využitím výnosů; a že neexistují žádné rizikové arbitrážní příležitosti. Tyto předpoklady mohou vést k cenám, které se liší od skutečného světa, ve kterém jsou tyto faktory přítomny.
Černá, Scholes, Merton. © KhanAcademy
