Trvání a konvexita pro měření dluhopisového rizika

Obsah

Jaké jsou trvání a konvexita?
Trvání dluhopisu
Doba trvání správy pevných příjmů
Trvání správy mezer
Porozumění Gap Managementu
Konvexita ve správě pevných příjmů
Sečteno a podtrženo

Jaké jsou trvání a konvexita?

Trvání a konvexita jsou dva nástroje používané k řízení rizikové expozice investic s pevným výnosem. Duration měří citlivost dluhopisu na změny úrokových sazeb. Konvexita se týká interakce mezi cenou dluhopisu a jeho výnosem, protože dochází ke změnám úrokových sazeb.

U kupónových dluhopisů se investoři spoléhají na metriku známou jako durace, aby změřili cenovou citlivost dluhopisu na změny úrokových sazeb. Protože kupónový dluhopis provádí řadu plateb po celou dobu jeho životnosti, investoři s pevným příjmem potřebují způsoby, jak změřit průměrnou splatnost slíbeného peněžního toku, aby sloužili jako souhrnná statistika skutečné splatnosti dluhopisu. Trvání toho dosahuje, díky čemuž mohou investoři s pevným výnosem efektivněji měřit nejistotu při správě svých portfolií.

Klíč s sebou

U kupónových dluhopisů se investoři spoléhají na metriku známou jako „doba trvání“, aby změřili cenovou citlivost dluhopisu na změny úrokových sazeb. Pomocí nástroje pro správu mezer mohou banky vyrovnat durace aktiv a pasiv a efektivně tak imunizovat svou celkovou pozici od úrokové sazby. pohyby.

Trvání dluhopisu

V roce 1938 nazval kanadský ekonom Frederick Robertson Macaulay pojmem „doba trvání“ dluhopisu pojetí efektivní splatnosti. Přitom navrhl, aby se tato doba trvání vypočítala jako vážený průměr dob do splatnosti každého kupónu nebo platby jistiny, které dluhopis provede. Vzorec délky trvání Macaulay je následující:

Cvičení $\begin{matrix} D = \frac{\sum_{i = 1}^{T} \frac{t * C}{{(1 + r)}^{t}} + \frac{T * F}{{(1 + r)}^{t}}}{\sum_{i = 1}^{T} \frac{C}{{(1 + r)}^{t}} + \frac{F}{{(1 + r)}^{t}}} \\ kde: \\ D = Trvání dluhopisu MacAulay \\ T = počet období do splatnosti \\ i = i^{t h} časový úsek \\ C = pravidelné platby kupónem \\ r = pravidelný výnos do splatnosti \\ F = nominální hodnota při splatnosti \end{matrix} \ begin {zarovnané} & D = \ frac { sum_ {i = 1} ^ T { frac {t * C} { left (1 + r \ right) ^ t}} + \ frac {T * F} { \ left (1 + r \ right) ^ t}} { sum_ {i = 1} ^ T { frac {C} { left (1 + r \ right) ^ t}} + \ frac {F} { \ left (1 + r \ right) ^ t}} \ \ textbf {kde:} \ & D = \ text {MacAulayova délka dluhopisu} \ & T = \ text {počet období do splatnosti} \ & i = \ text {the} i ^ {th} text {časové období} \ & C = \ text {periodická platba kupónu} \ & r = \ text {periodický výnos do splatnosti} \ & F = \ text {the nominální hodnota při splatnosti} \ \ end {zarovnáno}$ kde: D = ∑i = 1T (1 + r) tC + (1 + r) tF ∑i = 1T (1 + r) tt ∗ C + (1 + r) tT ∗ F D = MacAulayova doba dluhopisu T = počet období do splatnostii = i-té časové obdobíC = periodický kupónový výplatar = periodický výnos do splatnostiF = nominální hodnota při splatnosti

Doba trvání správy pevných příjmů

Trvání je zásadní pro správu portfolií s pevným výnosem z následujících důvodů:

Je to jednoduchá souhrnná statistika efektivní průměrné splatnosti portfolia. Je to základní nástroj při imunizaci portfolií před úrokovým rizikem. Odhaduje úrokovou citlivost portfolia.

Metrika trvání má následující vlastnosti:

Trvání dluhopisu s nulovým kupónem se rovná času do splatnosti. Konstantní doba splatnosti dluhopisu je kratší, když je kuponová sazba vyšší, kvůli dopadu včasných vyšších kuponových plateb. V případě konstanty kuponové sazby se durace dluhopisu obecně zvyšuje s časem do splatnosti. Existují však výjimky, jako u nástrojů, jako jsou dluhopisy s hlubokým diskontem, kde doba trvání může klesat se zvyšováním časových harmonogramů splatnosti. V případě konstantních ostatních faktorů je doba trvání kupónových dluhopisů vyšší, pokud jsou výnosy dluhopisů do splatnosti nižší. U dluhopisů s nulovým kupónem se však doba trvání rovná době do splatnosti, bez ohledu na výnos do splatnosti. Trvání úrovně perpetuity je (1 + y) / y. Například při 10% výnosu se doba trvání, která platí 100 USD ročně, rovná 1, 10 /.10 = 11 let. Při 8% výnosu se však bude rovnat 1, 08 / 0, 08 = 13, 5 let. Z tohoto principu je zřejmé, že zralost a doba trvání se mohou značně lišit. Příklad: splatnost věčnosti je nekonečná, zatímco doba trvání nástroje při 10% výnosu je pouze 11 let. Peněžní tok vážený současnou hodnotou na počátku života věčnosti dominuje výpočtu doby trvání.

Trvání správy mezer

Mnoho bank vykazuje nesoulad mezi splatností aktiv a závazků. Bankovní závazky, které jsou primárně vkladem klientům, jsou obvykle krátkodobé povahy, se statistikami o nízkém trvání. Naproti tomu aktiva banky zahrnují zejména vynikající komerční a spotřebitelské půjčky nebo hypotéky. Tato aktiva mají obvykle delší trvání a jejich hodnoty jsou citlivější na výkyvy úrokových sazeb. V obdobích, kdy úrokové sazby neočekávaně rostou, mohou banky utrpět drastický pokles čistého jmění, pokud jejich aktiva klesají dále než jejich závazky.

Technika zvaná správa mezer, vyvinutá na konci 70. a začátkem 80. let, je široce používaným nástrojem řízení rizik, kde se banky snaží omezit „mezeru“ mezi dobami aktiv a pasiv. Gap management se silně spoléhá na hypotéky s nastavitelnou sazbou (ARM), jako klíčové komponenty při zkrácení doby trvání portfolia bankovních aktiv. Na rozdíl od konvenčních hypoték ARM nesnižují hodnotu, když tržní sazby rostou, protože sazby, které platí, jsou vázány na aktuální úrokovou sazbu.

Na druhé straně rozvahy slouží zavedení dlouhodobějších bankovních depozitních certifikátů (CD) s pevnou splatností do splatnosti k prodloužení doby trvání bankovních závazků, což rovněž přispívá ke snížení mezery v trvání.

Porozumění Gap Managementu

Banky používají správu mezer, aby vyrovnaly durace aktiv a pasiv a účinně imunizovaly svou celkovou pozici před pohyby úrokových sazeb. Teoreticky jsou aktiva a pasiva banky zhruba stejná. Proto, pokud je jejich durace stejná, jakákoli změna úrokových sazeb bude mít vliv na hodnotu aktiv a pasiv ve stejné míře, a změny úrokových sazeb by proto měly malý nebo žádný konečný dopad na čistý jmění. Imunizace čistého jmění proto vyžaduje dobu trvání portfolia nebo mezeru nulovou.

Instituce s budoucími pevnými závazky, jako jsou penzijní fondy a pojišťovny, se liší od bank v tom, že fungují s ohledem na budoucí závazky. Například penzijní fondy jsou povinny udržovat dostatečné prostředky, aby pracovníkům poskytly tok příjmů po odchodu do důchodu. Protože úrokové sazby kolísají, mění se také hodnota aktiv držených fondem a sazba, za kterou tato aktiva generují příjem. Proto mohou manažeři portfolia chtít chránit (imunizovat) budoucí kumulovanou hodnotu fondu k určitému cílovému datu, proti pohybu úrokových sazeb. Jinými slovy, imunizace chrání aktiva a pasiva vázaná na trvání, takže banka může plnit své závazky bez ohledu na pohyb úrokových sazeb.

Konvexita ve správě pevných příjmů

Doba trvání má bohužel omezení, pokud je použita jako míra citlivosti úrokové sazby. Zatímco statistika počítá lineární vztah mezi změnami cen a výnosů dluhopisů, ve skutečnosti je vztah mezi změnami cen a výnosů konvexní.

Na obrázku níže zakřivená čára představuje změnu cen vzhledem ke změně výnosů. Přímá čára, tečná k křivce, představuje odhadovanou změnu ceny prostřednictvím statistiky trvání. Stínovaná oblast odhaluje rozdíl mezi odhadem doby trvání a skutečným pohybem cen. Jak je uvedeno, čím větší je změna úrokových sazeb, tím větší je chyba při odhadu cenové změny dluhopisu.

Konvexita, míra zakřivení změn ceny dluhopisu ve vztahu ke změnám úrokových sazeb, řeší tuto chybu měřením změny doby trvání, protože úrokové sazby kolísají. Vzorec je následující:

Cvičení $\begin{matrix} C = \frac{d^{2} (B (r))}{B * d * r^{2}} \\ kde: \\ C = konvexnost \\ B = cena dluhopisu \\ r = úroková sazba \\ d = doba trvání \end{matrix} \ begin {zarovnané} & C = \ frac {d ^ 2 \ left (B \ left (r \ right) right)} {B * d * r ^ 2} \ & \ textbf {where:} \ & C = \ text {konvexita} \ & B = \ text {cena dluhopisu} \ & r = \ text {úroková sazba} \ & d = \ text {trvání} \ \ end {zarovnáno}$ C = B ∗ d ∗ r2d2 (B (r)), kde: C = konvexita B = cena dluhopisu = úrok hodnocený = doba trvání

Obecně platí, že čím vyšší je kupón, tím nižší je konvexita, protože 5% dluhopis je citlivější na změny úrokových sazeb než 10% dluhopis. V důsledku funkce volání budou vyplacitelné dluhopisy vykazovat negativní konvexitu, pokud výnosy klesnou příliš nízko, což znamená, že doba trvání se při poklesu výnosů zkrátí. Dluhopisy s nulovým kupónem mají nejvyšší konvexitu, přičemž vztahy jsou platné pouze tehdy, mají-li porovnávané dluhopisy stejnou dobu trvání a výnosy do splatnosti. Je zřejmé, že dluhopisy s vysokou konvexitou jsou citlivější na změny úrokových sazeb, a proto by při pohybu úrokových sazeb měly být svědky větších výkyvů cen.

Opak je pravdou u dluhopisů s nízkou konvexitou, jejichž ceny se při změně úrokových sazeb nemění tolik. Při grafu na dvourozměrném grafu by měl tento vztah generovat U-tvar s dlouhým sklonem (odtud termín "konvexní").

Dluhopisy s nízkým a nulovým kupónem, které mají tendenci mít nižší výnosy, vykazují nejvyšší volatilitu úrokových sazeb. Z technického hlediska to znamená, že modifikovaná durace dluhopisu vyžaduje větší přizpůsobení, aby držel krok s vyšší změnou ceny po pohybu úrokové sazby. Nižší kuponové sazby vedou k nižším výnosům a nižší výnosy vedou k vyšším stupňům konvexnosti.

Sečteno a podtrženo

Stále se měnící úrokové sazby přinášejí nejistotu při investování s pevným výnosem. Doba trvání a konvexita umožňují investorům kvantifikovat tuto nejistotu a pomoci jim spravovat svá portfolia s pevným výnosem.

Obsah: