Nepřetržitý úrokový úrok

Složený úrok je úrok vypočtený z počáteční jistiny a také z kumulovaného úroku z předchozích období vkladu nebo půjčky. Účinek úrokového úroku závisí na frekvenci.

Předpokládejme roční úrokovou sazbu 12%. Začneme-li rok 100 USD a složíme jen jednou, na konci roku naroste jistina na 112 $ (100 x 1, 12 = 112 $). Pokud namísto toho každý měsíc složíme 1%, na konci roku skončíme s více než 112 $. To znamená, 100 $ x 1, 01 ^ 12 na 112, 68 $. (Je to vyšší, protože jsme se skládali častěji.)

Nepřetržitě složené vrací sloučeniny nejčastěji ze všech. Nepřetržité kombinování je matematický limit, který může složený úrok dosáhnout. Jedná se o extrémní případ kombinování, protože největší zájem je složen na měsíční, čtvrtletní nebo pololetní bázi.

Pololetní sazby návratnosti

Nejprve se podívejme na potenciálně matoucí konvenci. Na dluhopisovém trhu odkazujeme na výnos ekvivalentní dluhopisu (nebo ekvivalent dluhopisu). To znamená, že pokud dluhopis vydá 6% na pololetní bázi, jeho výnos ekvivalentní dluhopisu je 12%.

Obrázek Julie Bang © Investopedia 2019

Pololetní výnos se jednoduše zdvojnásobí. To je potenciálně matoucí, protože efektivní výtěžek 12% dluhopisové ekvivalentní výnosové vazby je 12, 36% (tj. 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Zdvojnásobení pololetního výnosu je pouhou konvencí pojmenování dluhopisů. Pokud tedy čteme o 8% dluhopisu složeném pololetně, předpokládáme, že se jedná o 4% pololetní výnos.

Čtvrtletní, měsíční a denní sazby návratnosti

Nyní pojďme diskutovat o vyšších frekvencích. Stále předpokládáme 12% roční tržní úrokovou sazbu. Podle konvencí pojmenování dluhopisů to znamená 6% pololetní sazbu. Nyní můžeme vyjádřit čtvrtletní složenou sazbu jako funkci tržní úrokové sazby.

Obrázek Julie Bang © Investopedia 2019

Vzhledem k roční tržní sazbě ( r) je čtvrtletní složená sazba ( r _q) dána:

Cvičení $\begin{matrix} r_{q} = 4 \end{matrix} \ begin {align} & r_q = 4 \ left \\ \ end {align}$ Rq = 4

Například v našem případě, kdy roční tržní sazba je 12%, je čtvrtletní složená sazba 11, 825%:

Cvičení $\begin{matrix} r_{q} = 4 ≅ 11.825 % \end{matrix} \ begin {align} & r_q = 4 \ left \ cong 11.825 \% \\ \ end {align}$ Rq = 4≅ 11, 825%

Obrázek Julie Bang © Investopedia 2019

Podobná logika platí pro měsíční složení. Měsíční složená sazba ( r _m ) se zde uvádí jako funkce roční tržní úrokové sazby ( r):

Denní složená sazba ( d) jako funkce tržní úrokové sazby ( r) je dána:

Cvičení $\begin{matrix} r_{d} & = 360 \\ = 360 \\ ≅ 11.66 % \end{matrix} \ begin {align} r_d & = 360 \ left \\ & = 360 \ left \\ & \ cong 11.66 \% \\ \ end {align}$ rd = 360 = 360≅11, 66%

Jak funguje průběžné míchání

Obrázek Julie Bang © Investopedia 2019

Zvýšíme-li složenou frekvenci na její hranici, budeme se průběžně skládat. I když to nemusí být praktické, kontinuálně složená úroková sazba nabízí úžasně výhodné vlastnosti. Ukazuje se, že průběžně složená úroková sazba je dána:

Cvičení $\begin{matrix} r_{C Ó n t i n u Ó u s} = \ln (1 + r) \end{matrix} \ begin {zarovnané} & r_ {kontinuální} = \ ln (1 + r) \ \ end {zarovnané}$ Kontinuální = ln (1 + r)

Ln () je přirozený log a v našem příkladu je tedy nepřetržitě složená sazba:

Cvičení $\begin{matrix} r_{C Ó n t i n u Ó u s} = \ln (1 + 0.12) = \ln (1.12) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ začátek {zarovnáno} & r_ {kontinuální} = \ ln (1 + 0, 12) = \ ln (1, 12) kong 11, 33 \% \\ \ end {zarovnáno}$ Nepřetržitě = ln (1 + 0, 12) = ln (1, 12) ≅ 11, 33%

Dostaneme se na stejné místo tím, že vezmeme přirozený log tohoto poměru: konečná hodnota dělená počáteční hodnotou.

Cvičení $\begin{matrix} r_{C Ó n t i n u Ó u s} = \ln (\frac{{Hodnota}_{Konec}}{{Hodnota}_{Start}}) = \ln (\frac{112}{100}) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ begin {zarovnané} & r_ {souvislé} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ vlevo ( frac {112} {100} right) cong 11, 33 \% \\ \ end {zarovnáno}$ Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (100112) ≅ 11, 33%

Ta je běžná při výpočtu nepřetržitě složeného výnosu z zásoby. Například, pokud akcie vyskočí z 10 USD jeden den na 11 USD následujícího dne, nepřetržitý složený denní výnos je dán:

Cvičení $\begin{matrix} r_{C Ó n t i n u Ó u s} = \ln (\frac{{Hodnota}_{Konec}}{{Hodnota}_{Start}}) = \ln (\frac{$ 11}{$ 10}) ≅ 9.53 % \end{matrix} \ begin {zarovnané} & r_ {souvislé} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ vlevo ( frac { $ 11} { $ 10} right) cong 9, 53 \% \\ \ end {zarovnáno}$ Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (10 $ 11 $) ≅9, 53%

Co je tak skvělého na nepřetržitě složené sazbě (nebo návratu), kterou označíme r _c ? Za prvé, je snadné ho škálovat dopředu. Vzhledem k jistině (P) je naše konečné bohatství za (n) let dáno:

Cvičení $\begin{matrix} w = P E^{r_{C} n} \end{matrix} \ begin {align} & w = Pe ^ {r_c n} \ \ end {align}$ W = Perc n

Všimněte si, že e je exponenciální funkce. Pokud například začneme 100 USD a nepřetržitě se složíme 8% během tří let, bude konečné bohatství dáno:

Cvičení $\begin{matrix} w = $ 100 E^{(0.08) (3)} = $ 127.12 \end{matrix} \ začátek {zarovnáno} & w = \ $ 100e ^ {(0, 08) (3)} = \ 127, 12 $ \\ \ end {zarovnáno}$ W = $ 100e (0, 08) (3) = 127, 12 $

Diskontování na současnou hodnotu (PV) je pouze složeno obráceně , takže současná hodnota budoucí hodnoty (F), která je spojena rychlostí ( rc), je dána:

Cvičení $\begin{matrix} PV z F přijaté v (n) letech = \frac{F}{E^{r_{C} n}} = F E^{- r_{C} n} \end{matrix} \ begin {align} & \ text {PV of F přijatých za (n) let} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \ end {align}$ PV z F přijaté v (n) letech = erc nF = Fe − rc n

Pokud například za tři roky obdržíte 100 USD za nepřetržitou sazbu 6%, je jeho současná hodnota dána:

Cvičení $\begin{matrix} PV = F E^{- r_{C} n} = ($ 100) E^{- (0.06) (3)} = $ 100 E^{- 0.18} ≅ $ 83.53 \end{matrix} \ begin {zarovnané} & \ text {PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( $ 100) e ^ {- (0, 06) (3)} = \ $ 100 e ^ {-0, 18} cong \ 83, 53 \\ \ end {zarovnané}$ PV = Fe-rc n = (100 $) e- (0, 06) (3) = 100 $ − 0, 18≅ $ 83, 53

Škálování po více období

Výhodnou vlastností nepřetržitě složených výnosů je to, že se škálovaly po více období. Pokud návratnost za první období je 4% a návratnost za druhé období je 3%, pak návratnost za dvě období je 7%. Zvažte, že začneme rok 100 USD, což na konci prvního roku vzroste na 120 USD, na konci druhého roku 150 USD. Průběžné složené výnosy jsou 18, 23% a 22, 31%.

Cvičení $\begin{matrix} \ln (\frac{120}{100}) ≅ 18.23 % \end{matrix} \ begin {align} & \ ln \ left ( frac {120} {100} right) cong 18.23 \% \\ \ end {align}$ Ln (100120) ≅18, 23%

Cvičení $\begin{matrix} \ln (\frac{150}{120}) ≅ 22.31 % \end{matrix} \ begin {zarovnané} & \ ln \ left ( frac {150} {120} right) cong 22, 31 \% \\ \ end {zarovnané}$ Ln (120150) ≅ 22, 31%

Pokud je jednoduše sčítáme, získáme 40, 55%. Toto je návratnost za dvě období:

Cvičení $\begin{matrix} \ln (\frac{150}{100}) ≅ 40.55 % \end{matrix} \ begin {align} & \ ln \ left ( frac {150} {100} right) cong 40.55 \% \\ \ end {align}$ Ln (100150) ≅ 40, 55%

Technicky vzato, kontinuální návrat je časově konzistentní. Časová konzistence je technický požadavek na rizikovou hodnotu (VAR). To znamená, že pokud je jednorázový návrat normálně distribuovanou náhodnou proměnnou, chceme, aby byly normálně distribuovány také náhodně proměnné s více periodami. Kromě toho je běžně distribuovaný vícečetný nepřetržitý složený výnos (na rozdíl od jednoduchého procentního výnosu).

Sečteno a podtrženo

Roční úrokové sazby můžeme přeformulovat na pololetní, čtvrtletní, měsíční nebo denní úrokové sazby (nebo míry návratnosti). Nejčastějším složením je nepřetržité kombinování, které vyžaduje, abychom používali přirozený protokol a exponenciální funkci, která se běžně používá ve financích kvůli svým žádoucím vlastnostem - snadno se škáluje v několika obdobích a je časově konzistentní.

Obsah:

Pololetní sazby návratnosti

Čtvrtletní, měsíční a denní sazby návratnosti

Jak funguje průběžné míchání

Škálování po více období

Sečteno a podtrženo

Výběr redakce