Pochopení binomického modelu oceňování opcí

Stanovení cen akcií

Shodnout se na přesném stanovení ceny jakéhokoli obchodovatelného aktiva je náročné - proto se ceny akcií neustále mění. Ve skutečnosti společnosti jen stěží mění své ocenění na každodenní bázi, ale jejich ceny akcií a ocenění se mění téměř každou sekundu. Tento problém při dosahování konsensu o správném stanovení ceny jakéhokoli obchodovatelného aktiva vede k krátkodobým arbitrážním příležitostem.

Ale spousta úspěšných investic se scvrkává na jednoduchou otázku současného ocenění - jaká je dnešní správná cena pro očekávanou budoucí výplatu?

Ohodnocení binominálních možností

Na konkurenčním trhu, aby se zabránilo arbitrážním příležitostem, musí mít aktiva se stejnou strukturou výplaty stejnou cenu. Ocenění variant bylo náročným úkolem a cenové rozdíly vedou k arbitrážním příležitostem. Black-Scholes zůstává jedním z nejpopulárnějších modelů používaných pro cenové možnosti, ale má svá omezení.

Binomický model oceňování opcí je další populární metoda používaná pro oceňování opcí.

Příklady

Předpokládejme, že u určité akcie existuje možnost volání s aktuální tržní cenou 100 USD. Možnost za peníze (ATM) má realizační cenu 100 USD s dobou vypršení platnosti po dobu jednoho roku. Existují dva obchodníci, Peter a Paula, kteří souhlasí s tím, že cena akcií vzroste za jeden rok na 110 USD nebo na 90 USD.

Shodnou se na očekávaných cenových hladinách v daném časovém rámci jednoho roku, ale nesouhlasí s pravděpodobností pohybu nahoru nebo dolů. Peter věří, že pravděpodobnost, že cena akcie klesne na 110 USD, je 60%, zatímco Paula věří, že je to 40%.

Na základě toho, kdo by byl ochoten zaplatit za cenu hovoru vyšší cenu? Možná Peter, protože očekává vysokou pravděpodobnost vzestupu.

Výpočty binominálních možností

Dvě aktiva, na nichž závisí ocenění, jsou call opce a podkladové akcie. Mezi účastníky panuje shoda, že základní cena akcií se může během jednoho roku pohybovat ze současných 100 $ na 110 nebo 90 $ a nejsou možné žádné další pohyby cen.

Ve světě bez arbitráže, pokud musíte vytvořit portfolio složené z těchto dvou aktiv, call opce a podkladových akcií, takže bez ohledu na to, kam podkladová cena jde - 110 $ nebo 90 $ - čistá návratnost portfolia zůstává vždy stejná. Předpokládejme, že si koupíte akcie „d“ podkladových a krátkých jednorázových opcí k vytvoření tohoto portfolia.

Pokud cena klesne na 110 USD, vaše akcie budou mít hodnotu 110 USD * d a ztratíte 10 USD na výplatě krátkého hovoru. Čistá hodnota vašeho portfolia bude (110d - 10).

Pokud cena klesne na 90 USD, vaše akcie budou mít hodnotu 90 USD * d a platnost této možnosti skončí bezcenné. Čistá hodnota vašeho portfolia bude (90 d).

Cvičení $\begin{matrix} h (d) - m = l (d) \\ kde: \\ h = Nejvyšší potenciální podkladová cena \\ d = Počet podkladových akcií \\ m = Peníze ztracené při výplatě krátkých hovorů \\ l = Nejnižší potenciální podkladová cena \end{matrix} \ begin {zarovnané} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {kde:} \ & h = \ text {Nejvyšší potenciální podkladová cena} \ & d = \ text {Počet podkladových akcií} \ & m = \ text {Peníze ztracené při výplatě krátkých hovorů} \ & l = \ text {Nejnižší potenciální základní cena} \ \ end {zarovnáno}$ H (d) −m = l (d) kde: h = nejvyšší potenciální základní cena = počet podkladových akciím = peníze ztracené při výplatě za krátký hovor = nejnižší potenciální podkladová cena

Pokud tedy koupíte polovinu podílu za předpokladu, že jsou možné dílčí nákupy, podaří se vám vytvořit portfolio tak, aby jeho hodnota zůstala stejná v obou možných stavech v daném časovém rámci jednoho roku.

Cvičení $\begin{matrix} 110 d - 10 = 90 d \\ d = \frac{1}{2} \end{matrix} \ begin {align} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ end {align}$ 110d-10 = 90dd = 21

Tato hodnota portfolia, označená (90d) nebo (110d - 10) = 45, je o jeden rok níže. Pro výpočet její současné hodnoty může být diskontována bezrizikovou mírou návratnosti (za předpokladu 5%).

Cvičení $\begin{matrix} Současná hodnota & = 90 d \times E^{(- 5 % \times 1 Rok)} \\ = 45 \times 0.9523 \\ = 42.85 \end{matrix} \ begin {zarovnané} text {Současná hodnota} & = 90d \ times e ^ {(-5 \% \ times 1 \ text {Year})} \ & = 45 \ times 0, 9523 \\ & = 42, 85 \\ \ konec {zarovnáno}$ Současná hodnota = 90d × e (−5% × 1 rok) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Vzhledem k tomu, že v současné době je portfolio složeno z ½ podílu podkladových akcií (s tržní cenou 100 USD) a jedné krátké výzvy, mělo by se rovnat současné hodnotě.

Cvičení $\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times Cena hovoru = $ 42.85 \\ Cena hovoru = $ 7.14, tj. současná cena hovoru \end{matrix} \ begin {zarovnané} & \ frac {1} {2} times 100 - 1 \ times \ text {Cena hovoru} = \ $ 42, 85 \\ & \ text {Cena hovoru} = \ 7, 11 $ \ text {, tj. cena hovoru dneška} \ \ end {zarovnané}$ 21 × 100-1 × × Cena hovoru = 42, 85 $Call Cena = 7, 14 $, tj. Cena hovoru dnes

Protože je to založeno na předpokladu, že hodnota portfolia zůstává stejná bez ohledu na to, jakým směrem se podkladová cena pohybuje, nehraje se pravděpodobnost pohybu nahoru nebo dolů. Portfolio zůstává bez rizika bez ohledu na základní pohyby cen.

V obou případech (předpokládá se nárůst na 110 USD a dolů na 90 USD) je vaše portfolio neutrální vůči riziku a získává bezrizikovou návratnost.

Proto by oba obchodníci, Peter a Paula, byli ochotni zaplatit za tuto výzvu za volání 7, 11 $, a to i přes rozdílné vnímání pravděpodobnosti vzestupů (60% a 40%). Jejich individuálně vnímané pravděpodobnosti nezáleží na oceňování opcí.

Předpokládáme-li, že na jednotlivých pravděpodobnostech záleží, mohly se ukázat arbitrážní příležitosti. Ve skutečném světě takové arbitrážní příležitosti existují s menšími cenovými rozdíly a v krátkodobém horizontu zmizí.

Ale kde je tolik medializovaná volatilita ve všech těchto výpočtech, důležitý a citlivý faktor, který ovlivňuje cenu opcí?

Nestálost je již zahrnuta v povaze definice problému. Za předpokladu dvou (a pouze dvou - odtud název „binomický“) cenových hladin ($ 110 a 90 $) je volatilita v tomto předpokladu implicitní a zahrnuta automaticky (v tomto příkladu 10%).

Black-Scholes

Je však tento přístup správný a koherentní s běžně používanou cenou Black-Scholes? Výsledky kalkulačky voleb (se svolením OIC) se těsně shodují s vypočítanou hodnotou:

Skutečný svět bohužel není tak jednoduchý jako „pouze dva státy“. Akcie mohou dosáhnout několika cenových hladin před vypršením platnosti.

Je možné zahrnout všechny tyto více úrovní do binomického cenového modelu, který je omezen pouze na dvě úrovně? Ano, je to velmi možné, ale pochopit, že to vyžaduje nějakou jednoduchou matematiku.

Jednoduchá matematika

Zobecnit tento problém a řešení:

„X“ je současná tržní cena akcie a „X * u“ a „X * d“ jsou budoucí ceny pro pohyby nahoru a dolů o „roky“ později. Faktor "u" bude větší než jeden, protože indikuje pohyb nahoru a "d" bude ležet mezi nulou a jedním. Pro výše uvedený příklad u = 1, 1 ad = 0, 9.

Výplaty opce na volání jsou „P _nahoru “ a „P _dn “ pro pohyby nahoru a dolů v době vypršení platnosti.

Cvičení $\begin{matrix} VUM = s \times X \times u - P_{nahoru} \\ kde: \\ VUM = Hodnota portfolia v případě posunu nahoru \end{matrix} \ begin {align} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \ & \ textbf {where:} \ & \ text {VUM} = \ text {Hodnota portfolia v případě posunu nahoru} \ \ end {zarovnání}$ VUM = s × X × u − Pup kde: VUM = Hodnota portfolia v případě posunu nahoru

Cvičení $\begin{matrix} VDM = s \times X \times d - P_{dolů} \\ kde: \\ VDM = Hodnota portfolia v případě posunu dolů \end{matrix} \ begin {align} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \ & \ textbf {kde:} \ & \ text {VDM} = \ text {Hodnota portfolia v případě posunu dolů} \ \ end {zarovnáno}$ VDM = s × X × d − Pdown kde: VDM = Hodnota portfolia v případě posunu dolů

Pro podobné ocenění v obou případech pohybu cen:

Cvičení $s \times X \times u - P_{nahoru} = s \times X \times d - P_{dolů} s \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down}$ s × X × u − Pup = s × X × d − Pdown

Cvičení $\begin{matrix} s & = \frac{P_{nahoru} - P_{dolů}}{X \times (u - d)} \\ = Počet akcií, za které se má koupit \\ portfolio bez rizika \end{matrix} \ begin {zarovnané} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {X \ times (u - d)} \ & = \ text {Počet sdílených akcií} \ & \ phantom {=} text {portfolio bez rizika} \ \ end {zarovnané}$ s = X × (u − d) Pup −Pdown = Počet akcií, které lze koupit = bezrizikové portfolio

Budoucí hodnota portfolia na konci „t“ let bude:

Cvičení $\begin{matrix} V případě posunu nahoru & = s \times X \times u - P_{nahoru} \\ = \frac{P_{nahoru} - P_{dolů}}{u - d} \times u - P_{nahoru} \end{matrix} \ begin {zarovnané} text {V případě posunu nahoru} & = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {u - d} times u - P_ \ text {up} \ \ end {zarovnáno}$ V případě posunu nahoru = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

Cvičení $\begin{matrix} V případě posunu dolů & = s \times X \times d - P_{dolů} \\ = \frac{P_{nahoru} - P_{dolů}}{u - d} \times d - P_{dolů} \end{matrix} \ begin {zarovnané} text {V případě posunutí dolů} & = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {u - d} times d - P_ \ text {down} \ \ end {zarovnáno}$ V případě posunu dolů = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

Dnešní hodnotu lze získat diskontováním bezrizikovou návratností:

Cvičení $\begin{matrix} PV = E (- r t) \times \\ kde: \\ PV = Současná hodnota \\ r = Míra návratnosti \\ t = Čas v letech \end{matrix} \ begin {zarovnáno} & \ text {PV} = e (-rt) times \ left \\ & \ textbf {kde:} \ & \ text {PV} = \ text {současná hodnota} \ & r = \ text {Míra návratnosti} \ & t = \ text {Čas v letech} \ \ end {zarovnáno}$ PV = e (−rt) × kde: PV = současnost Valuer = míra návratnosti = čas v letech

To by se mělo shodovat s držením portfolia akcií „s“ za cenu X a hodnota krátké výzvy „c“ (současná držba (s * X - c) by se měla rovnat tomuto výpočtu.) Řešení pro „c“ mu nakonec poskytne tak jako:

Poznámka: Je-li pojistné za volání zkráceno, mělo by to být doplnění portfolia, nikoli odčítání.

Cvičení $C = \frac{E (- r t)}{u - d} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} times$ c = u − de (−rt) ×

Dalším způsobem, jak napsat rovnici, je její uspořádání:

Bereme „q“ jako:

Cvičení $q = \frac{E (- r t) - d}{u - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) −d

Pak se rovnice stane:

Cvičení $C = E (- r t) \times (q \times P_{nahoru} + (1 - q) \times P_{dolů}) c = e (-rt) times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) times P_ \ text {down})$ c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × pokles)

Změna uspořádání rovnice na „q“ nabídla novou perspektivu.

Nyní můžete interpretovat „q“ jako pravděpodobnost posunu podkladu směrem nahoru (protože „q“ je spojeno s P _nahoru a „1-q“ je spojeno s P _dn). Celkově rovnice představuje současnou cenu opce, diskontovanou hodnotu její výplaty při vypršení platnosti.

Toto „Q“ je jiné

Jak se tato pravděpodobnost „q“ liší od pravděpodobnosti pohybu nahoru nebo dolů podkladu?

Cvičení $\begin{matrix} VSP = q \times X \times u + (1 - q) \times X \times d \\ kde: \\ VSP = Hodnota ceny akcií v čase t \end{matrix} \ begin {zarovnané} & \ text {VSP} = q \ times X \ times u + (1 - q) times X \ times d \\ & \ textbf {kde:} \ & \ text {VSP} = \ text {Value of Stock Price at Time} t \\ \ end {Zarovnáno}$ VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = hodnota ceny akcií v čase t

Nahrazením hodnoty "q" a přeskupením se cena akcií v čase "t" dostane na:

Cvičení $\begin{matrix} Tržní cena = E (r t) \times X \end{matrix} \ začátek {zarovnáno} & \ text {skladová cena} = e (rt) krát X \\ \ end {zarovnáno}$ Akciová cena = e (rt) × X

V tomto předpokládaném světě dvou států cena akcií jednoduše stoupá bezrizikovou mírou návratnosti, přesně jako bezrizikové aktivum, a proto zůstává nezávislá na jakémkoli riziku. Investoři nejsou lhostejní k riziku podle tohoto modelu, takže to představuje rizikově neutrální model.

Pravděpodobnost „q“ a „(1-q)“ je známa jako riziko-neutrální pravděpodobnosti a metoda oceňování je známa jako riziko-neutrální oceňovací model.

Příklad scénáře má jeden důležitý požadavek - budoucí struktura výplaty je vyžadována s přesností (úroveň $ 110 a 90 $). Ve skutečnosti není taková srozumitelnost ohledně stupňových cenových hladin možná; spíše se cena pohybuje náhodně a může se vyrovnat na více úrovních.

Chcete-li příklad dále rozšířit, předpokládejte, že jsou možné cenové hladiny ve dvou krocích. Známe závěrečné výplaty druhého kroku a musíme si dnes tuto možnost (v počátečním kroku) ocenit:

V opačném případě může být mezikrokové ocenění v prvním kroku (v t = 1) provedeno za použití konečného výplaty ve druhém kroku (t = 2), a pak s použitím těchto vypočtených ocenění v prvním kroku (t = 1), dnešní ocenění (t = 1) 0) lze dosáhnout pomocí těchto výpočtů.

K získání ceny opcí na čísle dvě se používají výplaty ve čtyřech a pěti. K získání ceny pro číslo tři se používají výplaty v pěti a šesti. Nakonec jsou vypočtené výplaty ve dvou a třech použity k získání cen v čísle jedna.

Vezměte prosím na vědomí, že tento příklad předpokládá stejný faktor pohybů nahoru a dolů v obou krocích - u a d jsou aplikovány složeným způsobem.

Pracovní příklad

Předpokládejme, že prodejní opce s realizační cenou 110 USD se v současné době obchoduje za 100 USD a její platnost vyprší za jeden rok. Roční bezriziková sazba je 5%. Očekává se, že cena vzroste o 20% a sníží se o 15% každých šest měsíců.

Zde, u = 1, 2 a d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

za použití výše uvedeného vzorce vzorce

Cvičení $q = \frac{E (- r t) - d}{u - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) −d

dostaneme q = 0, 35802832

hodnota put opce v bodě 2, Cvičení $\begin{matrix} {str}_{2} = E (- r t) \times (str \times P_{nahoru nahoru} + (1 - q) P_{updn}) \\ kde: \\ str = Cena prodejní opce \end{matrix} \ begin {zarovnané} & p_2 = e (-rt) times (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \ & \ textbf {kde:} \ & p = \ text {Cena prodejní opce} \ \ end {zarovnáno}$ P2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) kde: p = Cena prodejní opce

Za podmínek _upgradu P bude podklad = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 $, což povede k _upupu P = nula

Za podmínek _aktualizace P bude podklad = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 $, což povede k _aktualizaci P = 8 $

Za podmínek P _dndn bude podklad = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 $, což povede k P _dndn = _{37, 75} $

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Podobně p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

Cvičení ${str}_{1} = E (- r t) \times (q \times {str}_{2} + (1 - q) {str}_{3}) p_1 = e (-rt) times (q \ times p_2 + (1 - q) p_3)$ p1 = e (--rt) × (q × p2 + (1 - q) p3)

A proto hodnota opce s opcí, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 $.

Podobně vám binomické modely umožňují přerušit celou dobu trvání možnosti a dále zdokonalovat více kroků a úrovní. Pomocí počítačových programů nebo tabulek můžete pracovat o krok zpět, abyste získali aktuální hodnotu požadované možnosti.

Další příklad

Předpokládejme, že prodejní opce evropského typu má devět měsíců do vypršení, realizační cenu 12 USD a současnou základní cenu 10 USD. Předpokládejte bezrizikovou sazbu 5% pro všechna období. Předpokládejme, že každé tři měsíce se podkladová cena může pohybovat o 20% nahoru nebo dolů, což nám dává u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 a tříkrokový binomický strom.

Červená označuje základní ceny, zatímco modrá označuje návratnost prodejních opcí.

Rizikově neutrální pravděpodobnost „q“ se počítá na 0, 531446.

Použitím výše uvedené hodnoty „q“ a hodnot výplaty v čase t = devět měsíců se odpovídající hodnoty v čase t = šest měsíců počítají jako:

Dále, s použitím těchto vypočtených hodnot v t = 6, hodnoty v t = 3, pak v t = 0, jsou:

To dává dnešní hodnotu prodejní opce 2, 18 USD, což je docela blízko tomu, co byste pro výpočet provedli pomocí modelu Black-Scholes (2, 30 $).

Sečteno a podtrženo

I když použití počítačových programů může tyto intenzivní výpočty usnadnit, predikce budoucích cen zůstává hlavním omezením binomických modelů pro oceňování opcí. Čím jemnější jsou časové intervaly, tím obtížnější je předvídat výplaty na konci každého období s vysokou přesností.

Flexibilita pro zahrnutí očekávaných změn v různých obdobích je plus, což z něj činí vhodné pro oceňování amerických opcí, včetně ocenění na začátku cvičení.

Hodnoty vypočítané pomocí binomického modelu se těsně shodují s hodnotami vypočtenými z jiných běžně používaných modelů, jako je Black-Scholes, což ukazuje na užitečnost a přesnost binomických modelů pro oceňování opcí. Binomické cenové modely mohou být vyvinuty podle preferencí obchodníka a mohou fungovat jako alternativa k Black-Scholes.

Obsah: