Investoři se rádi zaměřují na příslib vysokých výnosů, ale měli by se také zeptat, jaké riziko musí na sebe vzít výměnou za tyto výnosy. I když často mluvíme o riziku v obecném smyslu, existují i formální vyjádření vztahu rizika a odměny. Například poměr Sharpe měří nadměrnou návratnost na jednotku rizika, kde se riziko počítá jako volatilita, což je tradiční a populární měřítko rizika. Jeho statistické vlastnosti jsou dobře známy a jsou součástí několika rámců, například moderní teorie portfolia a Black-Scholesův model., zkoumáme volatilitu, abychom pochopili její použití a její limity.
Anualizovaná směrodatná odchylka
Na rozdíl od předpokládané volatility - která patří do teorie oceňování opcí a je to výhledový odhad založený na tržním konsensu - pravidelná volatilita vypadá zpětně. Konkrétně se jedná o anualizovanou směrodatnou odchylku historických výnosů.
Tradiční rámce rizik, které se spoléhají na standardní odchylku, obecně předpokládají, že návratnost odpovídá normální distribuci ve tvaru zvonku. Normální rozdělení nám dává praktické pokyny: přibližně dvě třetiny času (68, 3%), výnosy by měly spadat do jedné standardní odchylky (+/-); a 95% času by výnosy měly spadat do dvou směrodatných odchylek. Dvě kvality normálního distribučního grafu jsou hubené „ocasy“ a perfektní symetrie. Skinny ocasy znamenají velmi nízký výskyt (asi 0, 3% času) návratů, které jsou více než tři standardní odchylky od průměru. Symetrie znamená, že frekvence a velikost vzestupných zisků je zrcadlovým obrazem ztrát.
SEE: Vliv volatility na návratnost trhu
Tradiční modely proto považují veškerou nejistotu za riziko, bez ohledu na směr. Jak mnozí lidé ukázali, je to problém, pokud výnosy nejsou symetrické - investoři se obávají svých ztrát „doleva“ průměru, ale nebojí se o zisky napravo od průměru.
Ilustrujeme tento vtip níže s dvěma smyšlenými akciemi. Klesající zásoba (modrá čára) je naprosto bez rozptylu, a proto vytváří volatilitu na nulu, ale rostoucí zásoba - protože vykazuje několik šoků vzhůru, ale ne jediný pokles - produkuje volatilitu (standardní odchylka) 10%.
Teoretické vlastnosti
Když například vypočítáme volatilitu indexu S&P 500 k 31. lednu 2004, dostaneme kdekoli od 14, 7% do 21, 1%. Proč takový rozsah? Protože musíme zvolit interval i historické období. Pokud jde o interval, mohli bychom sbírat řadu měsíčních, týdenních nebo denních (i intra-denních) výnosů. A naše série výnosů se může prodloužit zpět v historickém období libovolné délky, jako jsou tři roky, pět let nebo 10 let. Níže jsme vypočítali směrodatnou odchylku výnosů pro S&P 500 za období 10 let pomocí tří různých intervalů:
Všimněte si, že volatilita roste se zvyšujícím se intervalem, ale ne téměř v poměru: týdenní není téměř pětinásobek denní částky a měsíční není téměř čtyřikrát týdně. Dospěli jsme ke klíčovému aspektu teorie náhodných procházek: standardní stupnice odchylky (zvýšení) v poměru k druhé odmocnině času. Proto je-li denní směrodatná odchylka 1, 1% a existuje-li 250 obchodních dnů v roce, anualizovaná směrodatná odchylka je denní směrodatná odchylka 1, 1% vynásobená druhou odmocninou 250 (1, 1% x 15, 8 = 18, 1%). S vědomím toho můžeme anualizovat standardní standardní odchylky intervalu pro S&P 500 vynásobením druhou odmocninou počtu intervalů za rok:
Další teoretická vlastnost volatility tě může nebo nemusí překvapit: eroduje se vrací. Důvodem je klíčový předpoklad myšlenky náhodného procházení: návratnost je vyjádřena v procentech. Představte si, že začnete s $ 100 a poté získáte 10%, abyste získali $ 110. Pak ztratíte 10%, což vám zajistí 99 $ (110 $ x 90% = 99 $). Pak znovu získáte 10%, na čistých 108, 90 $ (99 x 110% = 108, 9 $). Nakonec ztratíte 10% na čistých 98, 01 $. Může to být kontraintuitivní, ale váš ředitel pomalu eroduje, i když váš průměrný zisk je 0%!
Pokud například očekáváte průměrný roční zisk 10% ročně (tj. Aritmetický průměr), ukáže se, že váš dlouhodobý očekávaný zisk je něco méně než 10% ročně. Ve skutečnosti bude snížena asi o polovinu rozptylu (kde rozptyl je standardní odchylka na druhou). V níže uvedené hypotéze začínáme 100 USD a pak si představíme pětiletou volatilitu končící 157 USD:
Průměrný roční výnos za pět let byl 10% (15% + 0% + 20% - 5% + 20% = 50% ÷ 5 = 10%), ale složená roční míra růstu (CAGR nebo geometrický výnos) je přesnější míra realizovaného zisku, a to bylo pouze 9, 49%. Volatilita výsledek narušila a rozdíl je asi o polovinu rozptyl 1, 1%. Tyto výsledky nepocházejí z historického příkladu, ale pokud jde o očekávání, vzhledem k standardní odchylce σ (rozptyl je čtverec směrodatné odchylky), σ2 a očekávaný průměrný zisk μ očekávaný roční výnos je přibližně μ− (σ2 ÷ 2).
Jsou výnosy dobře vedeny?
Teoretický rámec není bezpochyby elegantní, ale záleží na správném návratu. Konkrétně normální rozdělení a náhodná procházka (tj. Nezávislost mezi jednotlivými obdobími). Jak se to srovnává s realitou? Shromažďovali jsme denní výnosy za posledních 10 let pro S&P 500 a Nasdaq níže (přibližně 2 500 denních pozorování):
Jak lze očekávat, volatilita Nasdaq (anualizovaná standardní odchylka 28, 8%) je větší než volatilita S&P 500 (anualizovaná standardní odchylka 18, 1%). Můžeme pozorovat dva rozdíly mezi normální distribucí a skutečnými výnosy. Za prvé, skutečné výnosy mají vyšší vrcholy - což znamená větší převahu výnosů blízko průměru. Za druhé, skutečné výnosy mají tlustší ocasy. (Naše zjištění se poněkud shodují s rozsáhlejšími akademickými studiemi, které také mají tendenci najít vysoké vrcholy a tukové ocasy; technický termín pro toto je kurtóza). Řekněme, že považujeme mínus tři standardní odchylky za velkou ztrátu: S&P 500 zaznamenala denní ztrátu mínus tři standardní odchylky asi -3, 4% času. Normální křivka předpovídá, že k takové ztrátě dojde asi třikrát za 10 let, ale ve skutečnosti se to stalo 14krát!
Jedná se o rozdělení samostatných intervalů, ale co říká teorie o návratech v čase? Jako test se podívejme na skutečné denní distribuce S&P 500 výše. V tomto případě činil průměrný roční výnos (za posledních 10 let) asi 10, 6% a, jak již bylo řečeno, anualizovaná volatilita byla 18, 1%. Zde provádíme hypotetickou zkoušku tím, že začínáme 100 USD a držíme je déle než 10 let, ale každý rok vystavujeme investici náhodnému výsledku, který v průměru činil 10, 6% se standardní odchylkou 18, 1%. Tato zkouška byla provedena 500krát, takže se jednalo o tzv. Simulaci Monte Carlo. Konečné cenové výsledky 500 pokusů jsou uvedeny níže:
Normální rozdělení se zobrazuje jako pozadí pouze pro zvýraznění velmi neobvyklých cenových výsledků. Technicky jsou konečné cenové výstupy lognormální (což znamená, že pokud by se osa x převedla na přirozený log x, distribuce by vypadala normálněji). Jde o to, že několik cenových výstupů je na správném místě: z 500 pokusů šest výsledků přineslo výsledek na konci období 700 $! Těchto vzácných výsledků se podařilo vydělat v průměru přes 20%, každý rok, přes 10 let. Na levé straně, protože klesající zůstatek snižuje kumulativní účinky procentních ztrát, dostali jsme jen hrstku konečných výsledků, které byly nižší než 50 USD. Abychom shrnuli obtížný nápad, můžeme říci, že intervalové výnosy - vyjádřené v procentech - jsou normálně distribuovány, ale konečné cenové výstupy jsou normálně distribuovány.
SEE: Multivariační modely: analýza Monte Carlo
A konečně, další zjištění našich pokusů je v souladu s „erozními účinky“ volatility: pokud vaše investice vydělá přesně každý rok přesně, držíte na konci asi 273 $ (10, 6% se sdružuje za 10 let). V tomto experimentu však byl náš celkový očekávaný zisk blíže 250 USD. Jinými slovy, průměrný (aritmetický) roční zisk byl 10, 6%, ale kumulativní (geometrický) zisk byl menší.
Je důležité mít na paměti, že naše simulace předpokládá náhodný krok: předpokládá, že návraty z jednoho období do dalšího jsou zcela nezávislé. To jsme nijak neprokázali a nejedná se o triviální předpoklad. Pokud věříte, že výnosy sledují trendy, technicky říkáte, že vykazují pozitivní sériovou korelaci. Pokud si myslíte, že se vrací k střední hodnotě, pak technicky říkáte, že vykazují negativní sériovou korelaci. Ani postoj není v souladu s nezávislostí.
Sečteno a podtrženo
Volatilita je anualizovaná standardní odchylka výnosů. V tradičním teoretickém rámci to nejen měří riziko, ale ovlivňuje také očekávání dlouhodobých (víceletých) výnosů. Jako takový nás žádá, abychom akceptovali pochybné předpoklady, že intervaly jsou normálně distribuovány a nezávislé. Pokud jsou tyto předpoklady pravdivé, vysoká volatilita je dvojsečný meč: narušuje váš očekávaný dlouhodobý návrat (snižuje aritmetický průměr na geometrický průměr), ale také vám poskytuje více šancí na dosažení několika velkých zisků.
ZOBRAZIT: Implikovaná volatilita: Kupujte nízké a prodávejte vysoké
