Lineární definice vztahu

Co je lineární vztah?

Lineární vztah (nebo lineární asociace) je statistický termín používaný k popisu přímočarého vztahu mezi proměnnou a konstantou. Lineární vztahy mohou být vyjádřeny buď v grafickém formátu, kde proměnná a konstanta jsou spojeny přímkou ​​nebo v matematickém formátu, kde je nezávislá proměnná vynásobena koeficientem sklonu a je přidána konstantou, která určuje závislou proměnnou.

Lineární vztah může být kontrastován s polynomickým nebo nelineárním (zakřiveným) vztahem.

Klíč s sebou

• Lineární vztah (nebo lineární asociace) je statistický pojem používaný k popisu přímočarého vztahu mezi proměnnou a konstantou. Lineární vztahy mohou být vyjádřeny buď v grafickém formátu nebo jako matematická rovnice tvaru y = mx + b.Lineární vztahy jsou v běžném životě celkem běžné.

Lineární rovnice je:

Matematicky je lineární vztah takový, který splňuje rovnici:

Cvičení Y = mx + bwhere: m = slopeb = y-intercept

V této rovnici jsou „x“ a „y“ dvě proměnné, které souvisejí s parametry „m“ a „b“. Graficky, y = mx + b vykreslí v rovině xy jako přímka se sklonem „m“ a „y“, „b“. „Y“ je jednoduše hodnota „y“, když x = 0. Sklon „m“ se počítá ze všech dvou jednotlivých bodů (x ₁, y ₁) a (x ₂, y ₂) jako:

Cvičení $m=\frac{(y_2-y_1)}{(X_2-X_1)}$ m = (x2 −x1) (y2 −y1)

Lineární vztah

Co vám říká lineární vztah?

Existují tři sady nezbytných kritérií, které musí rovnice splňovat, aby se mohla kvalifikovat jako lineární: rovnice vyjadřující lineární vztah se nemůže skládat z více než dvou proměnných, všechny proměnné v rovnici musí odpovídat první mocnině, a rovnice musí graf jako přímka.

Lineární funkce v matematice je funkce, která splňuje vlastnosti aditivity a homogenity. Lineární funkce také dodržují princip superpozice, který uvádí, že čistý výstup dvou nebo více vstupů se rovná součtu výstupů jednotlivých vstupů. Obvykle používaný lineární vztah je korelace, která popisuje, jak se jedna proměnná mění lineárně ke změnám v jiné proměnné.

V ekonometrii je lineární regrese často používanou metodou vytváření lineárních vztahů k vysvětlení různých jevů. Ne všechny vztahy jsou však lineární. Některá data popisují vztahy, které jsou zakřivené (například polynomiální vztahy), zatímco jiná data nelze parametrizovat.

Lineární funkce

Matematicky podobné lineárnímu vztahu je pojem lineární funkce. V jedné proměnné lze lineární funkci zapsat takto:

Cvičení F (x) = mx + bwhere: m = slopeb = y-intercept

Toto je identické s daným vzorcem pro lineární vztah s tou výjimkou, že místo symbolu f se použije symbol f (x) . Tato substituce je provedena pro zdůraznění významu, že x je mapováno na f (x), zatímco použití y jednoduše znamená, že xay jsou dvě veličiny, vztažené k A a B.

Ve studii lineární algebry jsou vlastnosti lineárních funkcí rozsáhle studovány a zpřísněny. S ohledem na skalární C a dva vektory A a B z ^RN, nejobecnější definice lineární funkce uvádí, že: $C\times F(A+B)=C\times F\left(A\right)+C\times F\left(B\right)$ c × f (A + B) = c × f (A) + c × f (B)

Příklady lineárních vztahů

Příklad 1

Lineární vztahy jsou v běžném životě docela běžné. Pojďme například pojmout rychlost. Vzorec, který používáme pro výpočet rychlosti, je následující: rychlost je vzdálenost ujetá v čase. Pokud někdo z bílého minivanu Chrysler Town and Country 2007 cestuje mezi Sacramento a Marysville v Kalifornii, úsek 41, 3 mil na dálnici 99 a celá cesta končí po 40 minutách, bude cestovat těsně pod 60 km / h.

I když v této rovnici existují více než dvě proměnné, je to stále lineární rovnice, protože jedna z proměnných bude vždy konstanta (vzdálenost).

Příklad 2

Lineární vztah lze také nalézt v rovnici vzdálenost = rychlost x čas. Protože vzdálenost je kladné číslo (ve většině případů), tento lineární vztah by byl vyjádřen v pravém horním kvadrantu grafu s osou X a Y.

Pokud kolo vyrobené pro dva cestovalo rychlostí 30 mil za hodinu po dobu 20 hodin, jezdec skončí na cestě 600 mil. Graficky znázorněné se vzdáleností na ose Y a časem na ose X by přímka sledující vzdálenost za těchto 20 hodin putovala přímo ven z konvergence osy X a Y.

Příklad 3

Chcete-li převést stupně Celsia na Fahrenheita nebo Fahrenheita na Celsia, použijte níže uvedené rovnice. Tyto rovnice vyjadřují lineární vztah v grafu:

Cvičení $°C=\frac{5}{9}(°F-32)$ ° C = 95 (° F − 32)

Cvičení $°F=\frac{9}{5}(°C+32)$ ° F = 59 (° C + 32)

Příklad 4

Předpokládejme, že nezávislá proměnná je velikost domu (měřeno podle čtvercové záběry), která určuje tržní cenu domu (závislá proměnná), když je vynásobena koeficientem sklonu 207, 65, a poté se přidá do konstantního termínu 10 500 $. Je-li domovská čtvercová záběra 1 250, pak tržní hodnota domu je (1 250 x 207, 65) + 10 500 $ = 270 062, 50 $. Graficky a matematicky to vypadá takto:

Obrázek Julie Bang © Investopedia 2019

V tomto příkladu, jak se zvětšuje velikost domu, roste tržní hodnota domu lineárním způsobem.

Některé lineární vztahy mezi dvěma objekty lze nazvat „konstantou proporcionality“. Tento vztah se jeví jako

Cvičení Y = k × Xwhere: k = konstantaY, X = proporcionální veličiny

Při analýze behaviorálních dat existuje zřídka perfektní lineární vztah mezi proměnnými. Trendové linie však lze nalézt v datech, která tvoří hrubou verzi lineárního vztahu. Například byste se mohli podívat na prodej zmrzliny a počet návštěv v nemocnici jako dvě proměnné při hraní v grafu a najít lineární vztah mezi těmito dvěma.