Pro výpočet durace dluhopisů se používá hlavně doba trvání makuly a modifikovaná doba trvání. Doba trvání Macaulay počítá vážený průměr času, než držitel dluhopisu obdrží peněžní toky dluhopisu. Naopak změněné trvání měří cenovou citlivost dluhopisu, pokud dojde ke změně výnosu do splatnosti.
Doba trvání Macaulay
Doba trvání Macaulay se vypočítá vynásobením časového období periodickou výplatou kupónu a vydělením výsledné hodnoty 1 plus periodický výnos zvýšený do doby do splatnosti. Dále se hodnota vypočítá pro každé období a sečte se. Výsledná hodnota se pak přičte k celkovému počtu období vynásobenému nominální hodnotou, vydělené 1, plus periodický výnos zvýšený k celkovému počtu období. Poté se hodnota vydelí aktuální cenou dluhopisu.
Cvičení Doba trvání Macaulay = současná cena dluhopisů (∑t = 1n (1 + y) tt ∗ C + (1 + y) nn ∗ M) kde: C = periodická výplata kupónu = periodický výnosM = splatnost dluhopisu = doba trvání dluhopisu v období
Cena dluhopisu se vypočítá vynásobením peněžního toku 1, mínus 1, děleno 1, plus výnos do splatnosti, zvýšeným na počet období dělený požadovaným výnosem. Výsledná hodnota se přičte k nominální hodnotě nebo hodnotě splatnosti dluhopisu vydělenému 1 plus výnos do splatnosti zvýšený na celkový počet období.
Předpokládejme například dobu trvání pětiletého dluhopisu Macaulay s hodnotou splatnosti 5 000 USD a kuponovou sazbou 6% je 4, 87 let ((1 * 60) / (1 + 0, 06) + (2 * 60) / (1 + 0, 06 ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0, 06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0, 06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0, 06) ^ -5) / (0, 06)) + (5000 / (1 + 0, 06) ^ 5)).
Upravená durace tohoto dluhopisu s výnosem do splatnosti 6% za jedno kuponové období je 4, 59 let (4, 87 / (1 + 0, 06 / 1)). Pokud se tedy výnos do splatnosti zvýší z 6% na 7%, durace dluhopisu se sníží o 0, 28 roku (4, 87 - 4, 59).
Vzorec pro výpočet procentní změny ceny dluhopisu je změna výnosu vynásobená zápornou hodnotou modifikované durace vynásobená 100%. Tato výsledná procentuální změna v dluhopisu, pro 1% zvýšení výtěžku, je vypočtena na -4, 59% (0, 01 * - 4, 59 * 100%).
Upravená doba trvání
Cvičení Upravená durace = (1 + nYTM) Macauleyho durace, kde: YTM = výnos do splatnosti
Upravené trvání je upravená verze trvání Macaulay, která odpovídá změně výnosu na splatnost. Vzorec pro modifikované trvání je hodnota trvání Macaulay vydělená 1 plus výnos do splatnosti, vydělený počtem kupónových období za rok. Upravená durace určuje změny v trvání dluhopisu a v ceně pro každou procentní změnu ve výnosu do splatnosti.
Předpokládejme například, že šestiletý dluhopis má nominální hodnotu 1 000 USD a roční kuponovou sazbu 8%. Doba trvání Macaulay se počítá na 4, 99 let ((1 * 80) / (1 + 0, 08) + (2 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0, 08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0, 08) ^ -6) / 0, 08 + 1000 / (1 + 0, 08) ^ 6).
Upravená durace tohoto dluhopisu s výnosem do splatnosti 8% za jedno kuponové období je 4, 62 let (4, 99 / (1 + 0, 08 / 1)). Pokud se tedy výnos do splatnosti zvýší z 8% na 9%, durace dluhopisu se sníží o 0, 37 roku (4, 99 - 4, 62).
Vzorec pro výpočet procentní změny ceny dluhopisu je změna výnosu vynásobená zápornou hodnotou modifikované durace vynásobená 100%. Tato výsledná procentuální změna dluhopisu se pro zvýšení úrokové sazby z 8% na 9% počítá na -4, 62% (0, 01 * - 4, 62 * 100%).
Pokud tedy úrokové sazby vzrostou o 1% přes noc, očekává se, že cena dluhopisu klesne o 4, 62%.
Modifikované durační a úrokové swapy
Upravenou dobu trvání lze prodloužit tak, aby se vypočítal počet let, za něž by bylo třeba splácet cenu zaplacenou za tento swap. Úrokový swap je výměna jedné sady peněžních toků za jinou a je založena na specifikacích úrokových sazeb mezi stranami.
Upravená doba trvání se vypočítá vydělením hodnoty dolaru jedné změny základního bodu úrokové swapové části nebo řady peněžních toků současnou hodnotou řady peněžních toků. Hodnota je pak vynásobena 10 000. Modifikované trvání pro každou řadu peněžních toků lze také vypočítat vydělením hodnoty dolaru změny základního kapitálu řady peněžních toků pomyslnou hodnotou plus tržní hodnotou. Frakce se pak vynásobí 10 000.
Pro výpočet modifikované doby trvání úrokového swapu musí být vypočtena modifikovaná doba trvání obou úseků. Rozdíl mezi těmito dvěma modifikovanými duracemi je změněné trvání úrokového swapu. Vzorec pro modifikované trvání úrokového swapu je modifikované trvání přijímacího úseku mínus modifikované trvání platícího úseku.
Předpokládejme například, že banka A a banka B vstupují do úrokového swapu. Změněné trvání přijímacího úseku swapu se vypočítá jako devět let a změněné trvání platícího úseku se vypočítá jako pět let. Výsledné pozměněné trvání úrokového swapu je čtyři roky (9 let - 5 let).
Porovnání doby trvání Macaulay a modifikované doby trvání
Protože doba trvání Macaulay měří vážený průměr času, který musí investor držet dluhopis, dokud se současná hodnota peněžních toků dluhopisu nerovná částce zaplacené za dluhopis, je často používán správci dluhopisů, kteří hledají řízení rizika portfolia dluhopisů pomocí imunizačních strategií.
Naproti tomu modifikovaná durace určuje, jak moc se durace mění pro každou procentní změnu ve výnosu, zatímco měří, do jaké míry změna úrokových sazeb ovlivňuje cenu dluhopisu. Upravená durace tedy může investorům dluhopisů poskytnout opatření k měření rizika tím, že přiblíží, jak by mohla cena dluhopisu klesat se zvýšením úrokových sazeb. Je důležité si uvědomit, že ceny dluhopisů a úrokové sazby mají mezi sebou inverzní vztah.
